Récurrence et suites

Démontrer par récurrence et étudier la convergence d'une suite.

13 SKILLCARDS · Programme de Terminale · Maths Spécialité

Les SKILLCARDS de ce pack

TerminaleHORA#Schéma de raisonnement#Logique & démonstration
Raisonnement par récurrence
$\bigl[P(n_0)\text{ vraie}\bigr] \;\text{et}\; \bigl[\forall n\geq n_0,\; P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr] \;\Longrightarrow\; \forall n\geq n_0,\; P(n)\text{ vraie}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/CJEEHZ
JeRaisonne
1ère → TerminaleHORA#Méthode#Logique & démonstration
Récurrence : identifier la propriété P(n)
$n$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/7K2BUK
JeRaisonne
1ère → TerminaleHORA#Définition#Logique et raisonnement
Condition nécessaire, condition suffisante
$P \Rightarrow Q : P suffit pour Q ; Q est nécessaire pour P.$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PAKZV5
JeRaisonne
1ère → TerminaleHORA#Formule#Suites
Suite arithmétique
$u_{n+1} = u_n + r \qquad u_n = u_0 + n\,r$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/8YCCTW
JeRaisonne
1ère → TerminaleHORA#Formule#Suites
Suite géométrique
$u_{n+1} = q\,u_n \qquad u_n = u_0\,q^n$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/MPUHVQ
JeRaisonne
1ère → TerminaleHORA#Méthode#Suites
Sens de variation d'une suite
$(u_n)$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/EJC9R3
JeRaisonne
1ère → TerminaleHORA#Formule#Suites
Somme 1 + 2 + … + n
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/A6XMCG
JeRaisonne
1ère → TerminaleHORA#Formule#Suites
Somme 1 + q + … + qⁿ
$1 + q + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/NZKWJD
JeRaisonne
1ère → TerminaleHORA#Algorithme#Suites
Conjecturer une limite, algorithme de seuil
$n = 0 ; u = u0$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/MHT8KU
JeRaisonne
TerminaleHORA#Méthode#Suites
Suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) : limite et point fixe
$u_{n+1} = f(u_n),\ u_n \to \ell,\ f \text{ continue} \Rightarrow f(\ell) = \ell$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/C3RJQ7
JeRaisonne
TerminaleHORA#Propriété#Suites
Limites de suites : référence et opérations
$\infty - \infty$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/45KU76
JeRaisonne
TerminaleHORA#Théorème#Suites
Convergence monotone
$La limite est \leq tout majorant, mais n'est pas forcément le majorant trouvé.$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YM58AC
JeRaisonne
3,0(1)
TerminaleHORA#Théorème#Suites
Comparaison et théorème des gendarmes
$v_n \leq u_n \leq w_n,\ \ v_n \to \ell,\ w_n \to \ell \ \Rightarrow\ u_n \to \ell$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/NXAM88
JeRaisonne

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Récurrence : identifier la propriété P(n)

Condition nécessaire, condition suffisante

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Somme 1 + 2 + … + n

Somme 1 + q + … + qⁿ

Conjecturer une limite, algorithme de seuil

Suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) : limite et point fixe

Limites de suites : référence et opérations

Convergence monotone

Comparaison et théorème des gendarmes

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