Suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) : limite et point fixe — Terminale

Pour trouver la limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ dont on sait qu'elle converge.

Si $u_{n+1} = f(u_n)$, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell = f(\ell)$ : la limite est un point fixe de $f$.

1. Prouve la convergence (souvent convergence monotone + récurrence).
2. Résous $f(\ell) = \ell$.
3. Choisis la solution compatible avec les bornes de la suite.

$u_0 = 1$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$, croissante et majorée par 2 (donc convergente vers $\ell$), avec $1 \leq u_n \leq 2$.

1. $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ ⇒ $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ (en élevant au carré).
2. Racines $2$ et $-1$ ; $-1$ ne vérifie pas $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ (et $\ell \geq 1$).

→ $\ell = 2$

Résoudre $f(\ell) = \ell$ ne prouve pas la convergence ; il peut y avoir plusieurs points fixes : choisis avec les bornes.