Conjecturer une limite, algorithme de seuil — 1ère à Terminale

Pour deviner le comportement d'une suite à long terme et trouver à partir de quand elle dépasse (ou passe sous) une valeur.

On conjecture la limite en calculant beaucoup de termes : finie (les termes se rapprochent d'un réel $\ell$), infinie (ils dépassent tout nombre) ou absence de limite (oscillation). Seuil : plus petit $n$ tel que $u_n > A$, trouvé par une boucle while, qui ne s'arrête que si la suite finit par dépasser $A$ (par exemple si $\lim u_n = +\infty$).

1. Calcule des termes (tableur, calculatrice) et observe.
2. Algorithme de seuil : n = 0 ; u = u0 puis while u <= A: u = f(u) ; n = n + 1 ; renvoyer n.
3. Vérifie la condition d'arrêt (> ou ≥ selon l'énoncé) et que la suite finit bien par dépasser $A$ : sinon la boucle ne s'arrête jamais.

$u_n = 1{,}05^n$ dépasse 2 à partir de $n = 15$ ($1{,}05^{14} \approx 1{,}98$, $1{,}05^{15} \approx 2{,}08$). $\dfrac{1}{n}$ tend vers 0.

La condition du while est la négation de la condition d'arrêt ; une suite croissante n'a pas forcément une limite infinie ($1 - \frac{1}{n}$ tend vers 1).