Réels, suites et limites

Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure.

Toute suite croissante et majorée converge (vers sa borne supérieure).

Si $(u_n)$ croît, $(v_n)$ décroît et $v_n - u_n \to 0$, alors elles convergent vers une même limite $\ell$…

De toute suite réelle (ou complexe) bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Si $I$ est stable par $f$ et $f$ continue : une limite éventuelle $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$.

Si $f$ est continue sur $[a,b]$, toute valeur entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte.

Si $f$ est continue sur $I$, dérivable sur $I \setminus \{a\}$ et $f'(x) \to \ell$ quand $x \to a$, alors $f$…

$f$ convexe $\iff$ $f(tx + (1-t)y) \leq t f(x) + (1-t) f(y)$.