Pack 7 / 10 · févr. – avr.

Polynômes et algèbre linéaire

Racines, espaces vectoriels, théorème du rang et déterminants.

13 SKILLCARDS · Programme de PTSI · Maths prépa

Les SKILLCARDS de ce pack

MPSI → PTSIHORA#Théorème#Polynômes
Division euclidienne des polynômes
$A = BQ + R,\quad \deg R < \deg B$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/P5GFJM
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Propriété#Polynômes
Racines et multiplicité
$a$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/G9YHU8
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Formule#Polynômes
Relations coefficients-racines
$\sigma_1 = \sum x_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n},\qquad \sigma_n = \prod x_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/MUMSDN
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Méthode#Polynômes
Décomposition en éléments simples
$\frac{P}{(X-a)(X-b)} = \frac{\alpha}{X-a} + \frac{\beta}{X-b},\quad \alpha = \frac{P(a)}{a-b}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/DZ3QVV
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Méthode#Algèbre linéaire
Sous-espace vectoriel : caractérisation
$0_E \in F \quad\text{et}\quad \forall x,y \in F,\ \forall \lambda \in \mathbb{K},\ \lambda x + y \in F$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/JTBB2M
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Propriété#Algèbre linéaire
Somme directe et sous-espaces supplémentaires
$E = F \oplus G \iff F \cap G = \{0_E\}\ \text{et}\ E = F + G$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/M2Q9CG
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Définition#Algèbre linéaire
Familles libres, génératrices, bases
$\dim E = n$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/FTZRZV
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Théorème#Algèbre linéaire
Théorème du rang
$\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rg} u$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/55SQHF
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Méthode#Algèbre linéaire
Matrice d'une application linéaire
$j$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/ZVSYN6
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Formule#Algèbre linéaire
Formule de changement de base
$A' = P^{-1} A P$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/8YHAKV
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Définition#Algèbre linéaire
Rang d'une matrice
$\operatorname{rg} A$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/P9NMET
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Propriété#Algèbre linéaire
Déterminant : règles de calcul
$\det$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/3ZDC79
JeRaisonne
MPSI → PTSIHORA#Méthode#Algèbre linéaire
Développement selon une ligne ou une colonne
$\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{ij}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PFM4CX
JeRaisonne

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Racines et multiplicité

Relations coefficients-racines

Décomposition en éléments simples

Sous-espace vectoriel : caractérisation

Somme directe et sous-espaces supplémentaires

Familles libres, génératrices, bases

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Formule de changement de base

Rang d'une matrice

Déterminant : règles de calcul

Développement selon une ligne ou une colonne

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