Produit scalaire : définitions — 1ère à Terminale

Pour calculer un angle, prouver une orthogonalité, ou calculer une longueur dans une figure.

Pour $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$ (si l'un est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$). Avec la projection : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ ($H$ projeté orthogonal de C sur (AB)), soit $AB \times AH$ si même sens, $-AB \times AH$ sinon. $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

1. Choisis la formule selon les données : normes et angle → cosinus ; projeté connu → projection ; coordonnées → $xx' + yy'$.
2. Calcule.
3. Produit scalaire nul ⇔ orthogonalité.

$AB = 4$, $AC = 3$, $\widehat{BAC} = 60°$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6$.

Le produit scalaire est un nombre (pas un vecteur) ; il peut être négatif (angle obtus).