Module et argument : distances et angles — Terminale

Calculer une distance ou un angle dans le plan complexe, prouver qu'un triangle est rectangle ou isocèle.

$AB = |z_B - z_A|$. Si $A \neq B$ et $A \neq C$, l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ a pour mesure $\arg\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$, à $2\pi$ près.

Calculer les différences d'affixes, leurs modules (distances) et l'argument du quotient (angle).

A(1 + i), B(3 + 2i), C(3i) : nature du triangle ABC ?

1. $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{-1 + 2i}{2 + i} = i$, car $i(2 + i) = -1 + 2i$.
2. Module 1 : AC = AB.
3. Argument π/2 : angle droit en A.

→ ABC est rectangle isocèle en A.

L'ordre dans le quotient fixe le sens de l'angle orienté.