Complexes et géométrie — Terminale

Pour traduire un problème de géométrie plane en calculs sur les affixes (longueurs, angles, alignement, triangles).

$AB = |z_B - z_A|$. Pour $A \neq B$ et $A \neq C$ : $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arg\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ $[2\pi]$ ; $A, B, C$ alignés ⇔ $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ réel ; $(AB) \perp (AC)$ ⇔ ce quotient est imaginaire pur. Rotation de centre $\Omega$, d'angle $\theta$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.

1. Écris les affixes.
2. Calcule le quotient $Z = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
3. Lis : $|Z|$ (rapport de longueurs), $\arg Z$ (angle) ; $Z$ réel ⇒ alignés, imaginaire pur ⇒ orthogonaux.

$A(1 + i)$, $B(2 + 3i)$, $C(-3 + 3i)$ : nature du triangle $ABC$ ?

1. $z_B - z_A = 1 + 2i$ et $z_C - z_A = -4 + 2i$.
2. $Z = \dfrac{-4 + 2i}{1 + 2i} = \dfrac{(-4 + 2i)(1 - 2i)}{5} = \dfrac{10i}{5} = 2i$.
3. $|Z| = 2$ : $AC = 2AB$ ; $\arg Z = \dfrac{\pi}{2}$ : $(AB) \perp (AC)$.

→ $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AC = 2AB$.

L'ordre dans le quotient compte : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ donne l'angle de $\overrightarrow{AB}$ vers $\overrightarrow{AC}$.