Équation diophantienne ax + by = c
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Équation diophantienne ax + by = c — Terminale
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Quand l’utiliser ?
Trouver tous les couples d'entiers (x ; y) tels que ax + by = c.
La règle
Solutions si et seulement si PGCD(a ; b) divise c. Avec une solution (x₀ ; y₀) et a, b premiers entre eux : x = x₀ + bk, y = y₀ − ak (k entier relatif) ; réciproquement, ces couples sont bien solutions, car a(x₀ + bk) + b(y₀ − ak) = ax₀ + by₀ = c.
La méthode
Vérifier que le PGCD divise c, trouver une solution particulière, soustraire, appliquer Gauss, puis vérifier la réciproque : les couples trouvés sont bien solutions.
Exemple
3x + 5y = 1 : (2 ; −1) convient, d'où x = 2 + 5k, y = −1 − 3k ; réciproquement, 3(2 + 5k) + 5(−1 − 3k) = 1 pour tout entier k.
Les pièges à éviter
Diviser d'abord par le PGCD si a et b ne sont pas premiers entre eux.
La méthode HORA dans chaque Skill Card.
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Hypothèse
Je comprends l’énoncé, j’identifie ce qu’on cherche et les informations données.
Outil
Je choisis l’outil mathématique adapté (définition, propriété, théorème, formule…).
Raisonnement
Je justifie pourquoi cet outil est pertinent et je construis ma démarche.
Application
J’applique la méthode au problème et je conclus en vérifiant le résultat.