Croissances comparées — Terminale

Pour lever une forme indéterminée mêlant $e^x$ ou $\ln x$ et une puissance de $x$.

Pour tout entier $n \geq 1$ : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ ; $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$. En résumé : l'exponentielle l'emporte sur les puissances, les puissances l'emportent sur ln.

1. Repère la forme indéterminée.
2. Fais apparaître une forme de référence (factorisation).
3. Conclus avec la hiérarchie exp ≫ puissance ≫ ln.

$\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) = \lim x^2\left(\frac{e^x}{x^2} - 1\right) = +\infty$.

En $-\infty$, $x^n e^x$ est une forme indéterminée « $\infty \times 0$ » : l'exponentielle l'emporte encore, $x^n e^x \to 0$ (et non $\pm\infty$ comme $x^n$).