Le secret du format A4 : le ratio √2 — 4ème à 2nde

On rencontre ce ratio en géométrie (similitude, homothétie), en algèbre (équations du type $x^2 = 2$, introduction des irrationnels), et partout où la mise à l'échelle doit conserver les proportions (imprimerie, photographie, architecture).

Le ratio $\frac{\text{grand côté}}{\text{petit côté}} = \sqrt{2}$ garantit qu'en divisant une feuille en deux dans sa longueur, on obtient deux feuilles de format inférieur avec exactement le même ratio, tournées à 90°.

Les formats An sont définis par une règle : chaque format est obtenu en coupant le précédent en deux dans la largeur. Pour que la feuille coupée en deux ait le même ratio longueur/largeur que la feuille d'origine (simplement tournée à 90°), il faut résoudre l'équation : si le ratio est $r = \frac{L}{l}$, après coupe on obtient $r' = \frac{l}{L/2} = \frac{2l}{L} = \frac{2}{r}$. Pour que $r = r'$, il faut $r = \frac{2}{r}$, soit $r^2 = 2$, donc $r = \sqrt{2} \approx 1{,}414$. La norme ISO 216 fixe A0 à 1 m² de surface, d'où A0 : $841 \times 1189$ mm, A1 : $594 \times 841$ mm, A4 : $210 \times 297$ mm… et dans chaque cas $\frac{297}{210} \approx \sqrt{2}$.

Feuille A4 : $210 \times 297$ mm. On coupe dans la longueur → deux feuilles A5 de $148{,}5 \times 210$ mm. Vérifie : $\frac{210}{148{,}5} \approx 1{,}414 \approx \sqrt{2}$ ✓

Idée reçue : « le format A4, c'est du 21 × 29,7, c'est arbitraire. » Non ! C'est une conséquence directe de $\sqrt{2}$. $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel : il ne s'écrit pas comme une fraction exacte, d'où les valeurs arrondies en millimètres entiers.