Espérance, variance, écart type — 1ère à Terminale

Pour connaître le gain moyen d'un jeu (équitable ?), et la dispersion des résultats.

$E(X) = \sum x_i P(X = x_i)$. $V(X) = \sum P(X = x_i)(x_i - E(X))^2 = E(X^2) - E(X)^2$ (König-Huygens) ; $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Linéarité : $E(aX + b) = aE(X) + b$ ; $V(aX + b) = a^2V(X)$.

1. Tableau de la loi.
2. $E(X)$ : somme des produits valeur × probabilité.
3. $V(X)$ : $E(X^2) - E(X)^2$.
4. Jeu équitable ⇔ $E(\text{gain}) = 0$.

$X \in \{-1 ; 5\}$ (gain d'un jeu) avec les probabilités $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{1}{6}$.

1. $E(X) = -1 \times \dfrac{5}{6} + 5 \times \dfrac{1}{6} = 0$ : jeu équitable.
2. $E(X^2) = (-1)^2 \times \dfrac{5}{6} + 5^2 \times \dfrac{1}{6} = 5$.
3. $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 5 - 0 = 5$.

→ $\sigma(X) = \sqrt{5} \approx 2{,}24$

$V(aX + b) = a^2 V(X)$ : la constante $b$ disparaît et $a$ est au carré.