Déterminant et colinéarité — 2nde à 1ère

Pour tester rapidement en coordonnées si deux vecteurs sont colinéaires : alignement de points, droites parallèles.

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$ pour $\vec{u}(x ; y)$, $\vec{v}(x' ; y')$. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires ⇔ $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.

1. Calcule les coordonnées des deux vecteurs.
2. Produit en croix : $xy' - x'y$.
3. Nul ⇒ colinéaires (alignement si point commun, sinon parallélisme) ; non nul ⇒ non colinéaires.

$\vec{u}(2 ; 3)$, $\vec{v}(4 ; 6)$ : $2 \times 6 - 4 \times 3 = 0$, colinéaires. A(1 ; 1), B(3 ; 2), C(7 ; 4) : $\overrightarrow{AB}(2 ; 1)$, $\overrightarrow{AC}(6 ; 3)$, det = 0 : alignés.

Ne calcule pas $xx' - yy'$ : le déterminant croise les coordonnées, $xy' - x'y$. L'ordre des deux termes ne change que le signe, pas le test « $= 0$ ».