JeRaisonne

Rejoindre
PhénixLucide51

Défi lancé par

PhénixLucide51

JeRaisonne

1re · Fonction exponentielle

La 4ème étape m'a détruit

Exponentielle et suite — Étude de f et de (uₙ)

u0=−2×1+3=1 mu_0 = -2 \times 1 + 3 = 1 \text{ m}
u0=−2×0+3=3 mu_0 = -2 \times 0 + 3 = 3 \text{ m}
u0=−2e0+3=−2e+3u_0 = -2e^{0} + 3 = -2e + 3
u0=2e0+3=5 mu_0 = 2e^{0} + 3 = 5 \text{ m}
1reFonction exponentielle

Exponentielle et suite — Étude de f et de (uₙ)

Exercice 3 — Exponentielle et suite

A. Étude de fonction

On considère la fonction ff définie sur R+\mathbb{R}_+ par f(x)=−2e−xf(x) = -2e^{-x}.

  1. Conjecturer les variations de ff.
  2. Démontrer la conjecture.

B. Étude de suite

Abdel plante un arbuste mesurant 11 m. La hauteur (en mètres) après nn semaines est donnée par :

un=−2e−n+3u_n = -2e^{-n} + 3

  1. Vérifier la cohérence avec la hauteur initiale.

  2. La croissance est-elle linéaire ? Justifier.

    a) Montrer que un+1−un=2e−n(1−1e)u_{n+1} - u_n = 2e^{-n}\left(1 - \dfrac{1}{e}\right)

    b) En déduire que la hauteur augmente toutes les semaines.

  3. a) Placer les points (n ; un)(n\,;\,u_n) sur le graphique. Expliquer la démarche pour (2 ; u2)(2\,;\,u_2).

    b) Quelle semble être la limite de (un)(u_n) ? L'interpréter concrètement.

Progression avant cette question

1

En observant la courbe de ff, quelle conjecture peut-on formuler sur ses variations ?

✓

ff est strictement croissante sur R+\mathbb{R}_+.

2

Quelle est la dérivée f′(x)f'(x) de f(x)=−2e−xf(x) = -2e^{-x} ?

✓
f′(x)=2e−xf'(x) = 2e^{-x}
3

Quel est le signe de f′(x)=2e−xf'(x) = 2e^{-x} sur R+\mathbb{R}_+, et qu'en déduit-on ?

✓

e−x>0e^{-x} > 0 pour tout xx, donc f′(x)>0f'(x) > 0 : ff est strictement croissante sur R+\mathbb{R}_+.

Question

Calcule u0u_0 pour vérifier que la hauteur initiale est bien 11 m.